軌道角運動量

軌道角運動量（きどうかくうんどうりょう、英語: orbital angular momentum）とは、特に量子力学において、位置とそれに共役な運動量の積で表される角運動量のことである。

例えば原子の中で電子は、原子核が周囲に作る軌道を運動する^{[疑問点 – ノート]}。電子の全角運動量のうち、電子がその性質として持つスピン角運動量を除く部分が軌道角運動量である。

概要編集

定義編集

軌道角運動量演算子は以下のように定義される^[1]^(p98)：

${displaystyle {hat {boldsymbol {L}}}=({hat {L}}_{x},{hat {L}}_{y},{hat {L}}_{z})=left(-ihbar left(y{frac {partial }{partial z}}-z{frac {partial }{partial y}}right),-ihbar left(z{frac {partial }{partial x}}-x{frac {partial }{partial z}}right),-ihbar left(x{frac {partial }{partial y}}-y{frac {partial }{partial x}}right)right)}$

定義に至る背景編集

この定義は、古典力学における角運動量の定義

${displaystyle {boldsymbol {L}}={boldsymbol {x}}times {boldsymbol {p}}}$

において、位置 $x$ と運動量 $p$ を形式的に位置演算子

${displaystyle {hat {boldsymbol {x}}}=({hat {x}},{hat {y}},{hat {z}})=(xcdot ,ycdot ,zcdot )}$

（「 $x ・$ 」は $x$ を乗じる事を意味する）と運動量演算子の組

$\hat{p} = ({\hat{p}}_{x}, {\hat{p}}_{y}, {\hat{p}}_{z}) = (- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}, - i ℏ \frac{\partial}{\partial y}, - i ℏ \frac{\partial}{\partial z})$

に置き換える事で得られたものである。

一般化編集

より一般に、3次元空間の単位ベクトル $n =(n 1, n 2, n 3)$ に対し、内積

${displaystyle {hat {L}}_{boldsymbol {n}}={boldsymbol {n}}cdot {hat {boldsymbol {L}}}=n_{1}{hat {L}}_{x}+n_{2}{hat {L}}_{y}+n_{3}{hat {L}}_{z}}$

を $n$ を回転軸とする軌道角運動量演算子という。

性質編集

交換関係編集

${displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)}$

と表記すると、軌道角運動量は以下の交換関係を満たす：

${displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {x}}_{j}]=ihbar varepsilon _{ijk},{hat {x}}_{k}}$

${displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {p}}_{j}]=ihbar varepsilon _{ijk},{hat {p}}_{k}}$

${displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {L}}_{j}]=ihbar varepsilon _{ijk},{hat {L}}_{k}}$

ここで $ε ijk$ はエディントンのイプシロンである。特に最後の軌道角運動量同士の交換関係の形は角運動量代数と呼ばれている。

極座標表示編集

球面座標 $(r, θ, φ)$ を用いると、 $^L$ は

$({\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}, {\hat{L}}_{z}) = (i ℏ (\sin φ \frac{\partial}{\partial θ} + \cot θ \cos φ \frac{\partial}{\partial φ},), i ℏ (- \cos φ \frac{\partial}{\partial θ} + \cot θ \sin φ \frac{\partial}{\partial φ}), - i ℏ \frac{\partial}{\partial φ})$

と書ける^[1]^:p98。さらに球面座標表示した曲線 $R (r)=(r, 0, 0)$ 、 $Θ (θ)=(0, θ, 0)$ 、 $Φ (φ)=(0, 0, φ)$ の原点における接線方向の単位ベクトルを $e r 、 e θ 、 e φ$ とするとき、 $e r 、 e θ 、 e φ$ 方向の軌道角運動量演算子 $^L r,^L θ,^L φ$ とすると、以下が成立する：

${displaystyle L_{r}=0}$

${displaystyle L_{theta }=ihbar {frac {1}{sin theta }}{frac {partial }{partial phi }}}$

${displaystyle L_{phi }=-ihbar {frac {partial }{partial theta }}}$

軌道角運動量の自乗編集

定義編集

軌道角運動量の二乗を

${displaystyle {hat {{boldsymbol {L}}^{2}}}=({hat {L}}_{x})^{2}+({hat {L}}_{y})^{2}+({hat {L}}_{z})^{2}}$

と定義する。

交換関係編集

この演算子は軌道角運動量の各成分と可換である：

${displaystyle [{hat {mathbf {L} ^{2}}},{hat {L}}_{x}]=[{hat {mathbf {L} ^{2}}},{hat {L}}_{y}]=[{hat {mathbf {L} ^{2}}},{hat {L}}_{z}]=0}$

極座標表示編集

極座標で書き表すと：

{displaystyle {hat {{boldsymbol {L}}^{2}}}=-hbar ^{2}left({frac {1}{sin theta }}{frac {partial }{partial theta }}left(sin theta {frac {partial }{partial theta }}right)+{frac {1}{sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}right)}

である^[2]。

ラプラシアンとの関係編集

実はこれはラプラシアンの極座標表示と関係がある。すなわちラプラシアンを極座標表示して

{displaystyle Delta ={1 over r^{2}}(Delta _{r}+Delta _{S})}

と動径方向と球面方向にわけると、

{displaystyle Delta _{r}={frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial }{partial r}}right)}

、

{displaystyle Delta _{S}=-{1 over hbar ^{2}}{hat {{boldsymbol {L}}^{2}}}}

が成立する^[3]。

回転対称性との関係編集

波動関数の回転編集

3次元空間 $R 3$ における回転行列全体の集合を

${displaystyle mathrm {SO} (3)={R~:~}$ 3次元実数係数行列で、 ${displaystyle {}^{t}RR=I,~det R>0}}$

とし（ここで $I$ は単位行列であり、 $t R$ は $R$ の転置行列である）、回転行列 $R \in SO (3)$ に対し、波動関数の全体の空間 ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ 上にユニタリ演算子

${displaystyle lambda (R)~:~L^{2}(mathbf {R} ^{3})to L^{2}(mathbf {R} ^{3}),~~}$ ${displaystyle phi ({boldsymbol {x}})mapsto phi (R^{-1}{boldsymbol {x}})}$

を定義すると^[4]、これは波動関数の「回転」とみなせる。

軌道角運動量演算子との関係編集

単位ベクトル $n =(x, y, z)$ に対し、 $R n (s)$ を $n$ を軸として右手系に $s$ ラジアンだけ回転する行列とすると、以下が成立する：

${displaystyle {hat {L}}_{boldsymbol {n}}(psi )}$ ${displaystyle =ihbar left.{mathrm {d} over mathrm {d} s}lambda (R_{boldsymbol {n}}(s))(psi )right|_{s=0}}$

ここで ${displaystyle {hat {L}}_{boldsymbol {n}}}$ は $n$ を回転軸とする軌道角運動量演算子である。

証明編集

本節では ${displaystyle {hat {L}}_{boldsymbol {n}}}$ が $z$ 軸の周りの軌道角運動量 $^L z$ の場合のみ証明するがそれ以外の場合も同様である。

既に述べたように $^L z$ は球面座標系 $(r, θ, φ)$ を用いて

${displaystyle {hat {L}}_{z}=-ihbar {partial over partial varphi }}$

と表記できるので、任意の波動関数 $ψ$ に対し、 $ψ$ を極座標表示すれば、

${displaystyle ihbar left({operatorname {d} over operatorname {d} s}lambda (R_{(0,0,1)}(s))(psi ){Bigg |}_{s=0}right)psi (r,theta ,varphi )}$ ${displaystyle =ihbar {operatorname {d} over operatorname {d} s}psi (r,theta ,varphi -s){Bigg |}_{s=0}}$ ${displaystyle =-ihbar {partial over partial varphi }psi (r,theta ,varphi )}$ ${displaystyle ={hat {L}}_{z}psi (r,theta ,varphi )}$

となり、主張が証明できた。

回転対称性からみた交換関係編集

$R n (s)$ の微分を計算すると、

${displaystyle left.{operatorname {d} R(s) over operatorname {d} s}right|_{s=0}={begin{pmatrix}0&-z&y\z&0&-x\-y&x&0end{pmatrix}}=:F_{boldsymbol {n}}}$

となる。関数 $λ *$ を、

$λ_{*} ({\frac{d R (s)}{d s} |}_{s = 0}) (ψ) = {\frac{d}{d s} λ (R (s)) (ψ) |}_{s = 0}$

が任意の波動関数 $ψ$ と $SO (3)$ に値を取る任意の $R (θ)$ に対して成立するよう定義する（詳細は省くがこのような関数はwell-definedに定義可能である）と、

${displaystyle lambda _{*}([F,G])=[lambda _{*}(F),lambda _{*}(G)]}$

が成立する事が知られている^[5]。よって

{displaystyle left[{hat {L}}_{x},{hat {L}}_{y}right]=(ihbar )^{2}lambda _{*}(F_{(1,0,0)}),lambda _{*}(F_{(0,1,0)})]=(ihbar )^{2}lambda _{*}([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])}

すなわち軌道角運動量の交換関係は、 $F n$ の交換関係から導かれたものである。

$F n$ は以下を満たす事が知られている^[6]^:p36。ここで「 $\times$ 」はクロス積である：

${displaystyle [F_{boldsymbol {x}},F_{boldsymbol {y}}]=F_{{boldsymbol {x}}times {boldsymbol {y}}}}$

よって軌道角運動量の交換関係は

{displaystyle left[{hat {L}}_{x},{hat {L}}_{y}right]=(ihbar )^{2}lambda _{*}([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])=(ihbar )^{2}lambda _{*}(F_{(1,0,0)times (0,1,0)})=ihbar cdot ihbar lambda _{*}(F_{(0,0,1)})=ihbar {hat {L}}_{z}}

である。これは前の節で述べた交換関係と一致する。他の軸に関する軌道角運動量の交換関係も同様にして求めることができる。

球面調和関数編集

詳細は「球面調和関数」を参照

後の節で述べるように、軌道角運動量演算子の固有関数は球面調和関数で記述可能なので、本節ではその準備として、球面調和関数の定義と性質を述べる。

なお、球面調和関数の定義は数学と物理学とで異なるので、本節では両方の定義を紹介し、両者の関係も述べる。

数学における球面調和関数編集

３次元空間 $R 3$ における多項式 $p$ で

${displaystyle Delta p=0}$

を満たすものを調和多項式といい、調和多項式 $p$ が ${displaystyle ell }$ 次の斉次多項式であるとき、を球面

${displaystyle S^{2}={mathbf {x} in mathbf {R} ^{3}mid |mathbf {x} |=1}}$

に制限したものを ${displaystyle ell }$ 次の球面調和関数という。

物理学における球面調和関数編集

3次元空間 $R 3$ の場合、 $R 3$ を球面座標 $(r, θ, φ)$ で表す。下記の関数 ${displaystyle Y_{ell ,m}(theta ,varphi )}$ を（物理学における）球面調和関数という：

{displaystyle Y_{ell ,m}(theta ,phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{sqrt {{frac {2ell +1}{4pi }}{frac {(ell -|m|)!}{(ell +|m|)!}},}}P_{ell }^{|m|}(cos theta ),e^{imphi }}

　　　…(B1)

ここで

m

は整数で、

{displaystyle ell }

は

{displaystyle ell geq |m|}

　　　…(B2)

であり、 ${displaystyle P_{ell }{}^{m}(t)}$ はルジャンドルの陪多項式^[7]

P_{ℓ}^{m} (t) = \frac{1}{2^{ℓ}} (1 - t^{2})^{\frac{m}{2}} \sum_{j = 1}^{⌊ (ℓ - m) / 2 ⌋} \frac{(- 1)^{j} (2 ℓ - 2 j)!}{j! (ℓ - j)! (ℓ - 2 j - m)!} t^{ℓ - 2 j - m}

　　　…(B3)

である。すなわち ${displaystyle P_{ell }{}^{m}(t)}$ はルジャンドルの陪微分方程式

{displaystyle (1-t)y''(t)+-2ty'(t)+left(ell (ell +1)-{m^{2} over 1-z^{2}}right)=0}

の解である。なお ${displaystyle Y_{ell ,m}(theta ,varphi )}$ の定義における係数は、後述する内積から定義されるノルムが 1 になるよう選んだものである。

２つの定義の関係編集

関数 $f$ を

{displaystyle f(r,theta ,varphi )=r^{ell }Y_{ell ,m}(theta ,varphi )}

と定義すると、 $f$ （を直交座標で書いたもの）は数学における ${displaystyle ell }$ 次の球面調和関数になる。

また、 $p$ を数学における ${displaystyle ell }$ 次の球面調和関数とすると、 $p$ の極座標は必ず

{displaystyle p(r,theta ,varphi )=sum _{m=-ell }^{ell }a_{m}r^{ell }Y_{ell ,m}(theta ,varphi )}

という形の線形和で書ける。

これらの事実の証明は球面調和関数の項目を参照されたい。

性質編集

3次元空間 $R 3$ の球面座標 $(r, θ, φ)$ に対し、

{displaystyle mathrm {d} x,mathrm {d} y,mathrm {d} z=r^{2}sin theta ,mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi }

が成立する。そこで、 $R$ 上の関数 $χ, ξ$ と $3$ 次元空間 $R 3$ の単位球面

{displaystyle S^{2}={(x,y,z)in mathbf {R} ^{n}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}}

上の $2$ つの可積分関数 $f, g$ に対し、内積を以下のように定義する：

{displaystyle langle chi |xi rangle _{R}:=int _{-infty }^{infty }chi (r)xi (r)r^{2}mathrm {d} r}

{displaystyle langle f|grangle _{S^{2}}:=int _{S^{2}}f(mathbf {x} )g(mathbf {x} )sin theta ,varphi ,mathrm {d} theta }

このとき次の定理が成立する（定理の導出の詳細は球面調和関数の項目を参照）。

定理1 ― 球面調和関数は以下の性質を満たす：

{displaystyle langle Y_{ell }{}^{m}|Y_{j}{}^{s}rangle _{S^{n-1}}={begin{cases}1&{text{if }}ell =j,m=s\0&{text{otherwise}}end{cases}}}

定理2 ― $R 3$ 上の任意の自乗可積分関数 $f (x, y, z)$ に対し、 ${displaystyle langle chi _{ell ,m}|chi _{ell ,m}rangle _{R}<infty }$ を満たす $R$ 上の可積分関数の族 ${displaystyle {chi _{ell ,m}(r)}}$ で

{displaystyle f(r,theta ,varphi )=sum _{m=0}^{infty }sum _{ell =-m}^{m}chi _{ell ,m}(r)Y_{ell ,m}(theta ,phi )}

となるものが一意に存在する。

${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}}$ の固有関数編集

数学における球面調和関数 $p$ は ${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}}$ の固有関数である：

${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}p(mathbf {x} )=hbar ^{2}ell (ell +1)p(mathbf {x} )}$ 　　　…(A1)

ここで ${displaystyle ell }$ は球面調和関数 $p$ の次数である。なお、 ${displaystyle chi (|mathbf {x} |)}$ を動径方向の任意の自乗可積分関数とすると、上式から明らかに

${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}chi (|mathbf {x} |)p(mathbf {x} )=hbar ^{2}ell (ell +1)chi (|mathbf {x} |)p(mathbf {x} )}$

であるので、 ${displaystyle chi (|mathbf {x} |)p(mathbf {x} )}$ も ${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}}$ の固有関数である。

既に述べたように数学における球面調和関数は物理学における球面調和関数 ${displaystyle Y_{ell m}(theta ,phi )}$ の線形和で書けるので、定理2より、 ${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}}$ の固有関数は上述の形のものに限られる。

(A1)の証明編集

既に述べたようにラプラシアンの極座標表示は、

{displaystyle Delta ={1 over r^{2}}(Delta _{r}+Delta _{S})}

と動径方向と球面方向にわけると、

{displaystyle Delta _{r}={frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial }{partial r}}right)}

、

{displaystyle Delta _{S}=-{1 over hbar ^{2}}{hat {{boldsymbol {L}}^{2}}}}

が成立するので^[3]、 $p$ を ${displaystyle ell }$ 次の球面調和関数とすると、

{displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}p(mathbf {x} )=hbar ^{2}Delta _{r}p(mathbf {x} )-hbar ^{2}r^{2}Delta hbar ^{2}p(mathbf {x} )}

{displaystyle =hbar ^{2}Delta _{r}p(mathbf {x} )}

ベクトル $x$ は動径方向

{displaystyle r=|mathbf {x} |}

と球面方向

{displaystyle {mathbf {x} over |mathbf {x} |}}

に分解でき、しかも $p$ は ${displaystyle ell }$ 次の斉次多項式であるので、

{displaystyle Delta _{r}p(mathbf {x} )=pleft({mathbf {x} over |mathbf {x} |}right)Delta _{r}r^{ell }}

{displaystyle =pleft({mathbf {x} over |mathbf {x} |}right){frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial }{partial r}}right)r^{ell }}

{displaystyle =pleft({mathbf {x} over |mathbf {x} |}right)cdot ell (ell +1)r^{ell }}

{displaystyle =ell (ell +1)p(mathbf {x} )}

${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ の固有関数編集

${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ に物理学における球面調和関数 ${displaystyle Y_{ell m}(theta ,phi )}$ を作用させると

{displaystyle {hat {L}}_{z}Y_{ell m}(theta ,phi )=mhbar Y_{ell m}(theta ,phi )}

定理1より

${displaystyle Y_{ell m}(theta ,phi )}$ は $S 2$ 上の面積要素 $sin θ d θ d φ$ に関して規格化されている
${displaystyle Y_{ell m}(theta ,phi )}$ は互いに直交いている

定理2より

$^L z$ と ${displaystyle {hat {boldsymbol {L}}}^{2}}$ の任意の自乗可積分関数は球面調和関数を用いて固有値展開可能である

量子数編集

これまでの記述から分かるように

{displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}psi _{ell ,m}=ell (ell +1)hbar ^{2}psi _{ell ,m}}

{displaystyle {hat {L}}_{z}psi _{ell ,m}=mhbar psi _{ell ,m}}

を満たす ${displaystyle psi _{ell ,m}}$ が存在し、必要なら ${displaystyle psi _{ell ,m}}$ を定数倍すれば、

{displaystyle psi _{ell ,m}=Y_{ell ,m}}

が成立する。

${displaystyle ell }$ を軌道角運動量量子数（方位量子数）、 $m$ は軌道磁気量子数という。前節で述べたように、

{displaystyle ell =0,1,2,ldots }

{displaystyle m=0,pm 1,pm 2,ldots ,pm ell }

を満たす。

昇降演算子編集

定義編集

昇降演算子を

{displaystyle {hat {L}}_{+}={hat {L}}_{x}+i{hat {L}}_{y}}

、

{displaystyle {hat {L}}_{-}={hat {L}}_{x}-i{hat {L}}_{y}}

により定義する。以下この２つを合わせて

{displaystyle {hat {L}}_{pm }}

と略記する。

性質編集

簡単な計算から交換関係

{displaystyle [{hat {L}}_{z},{hat {L}}_{pm }]=pm hbar {hat {L}}_{pm }}

を満たすので、 $ψ$ を固有値 ${displaystyle mhbar }$ に対する ${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ の固有関数とすると、

{displaystyle {hat {L}}_{z}({hat {L}}_{pm }psi )={hat {L}}_{pm }{hat {L}}_{z}psi +[{hat {L}}_{z},{hat {L}}_{pm }]psi =(mpm 1)hbar ({hat {L}}_{pm }psi )}

なので、 ${displaystyle {hat {L}}_{pm }psi }$ は固有値 ${displaystyle (m+1)hbar }$ に対する ${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ の固有関数である。

すなわち、昇降演算子は ${displaystyle mhbar }$ に対応する固有関数を ${displaystyle (mpm 1)hbar }$ に対応する固有関数に移す。

よって特に

{displaystyle Y_{ell ,m}=L_{+}{}^{m}Y_{ell ,0}}

×(定数)

が成立する。

その他の性質編集

{displaystyle x_{+}=x+iy}

、

{displaystyle x_{-}=x-iy}

とすると^T10^:p211-212、交換関係

{displaystyle [{hat {L}}_{pm },x_{pm }]=0}

、

{displaystyle [{hat {L}}_{pm },x_{mp }]=pm 2ihbar z}

{displaystyle [{hat {L}}_{z},x_{pm }]=pm ihbar x_{pm }}

、

{displaystyle [{hat {mathbf {L} ^{2}}},x_{pm }]=(ihbar )^{2}(1mp i)x_{pm }pm 2ihbar x_{pm }{hat {L}}_{z}+hbar z{hat {L}}_{pm }}

が成立することが簡単な計算から分かる。

証明編集

最後の式だけ確認すると、

{displaystyle {hat {L}}'_{pm }={hat {L}}_{pm }/ihbar }

、

{displaystyle {hat {L}}'_{w}={hat {L}}_{w}/ihbar }

for

w = x, y, z

、

{displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}'={hat {mathbf {L} ^{2}}}/(ihbar )^{2}}

とすると、

{displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}'x_{pm }=({hat {L}}'_{x}-i{hat {L}}'_{y})({hat {L}}'_{x}+i{hat {L}}'_{y})x_{pm }+i{hat {L}}'_{y}{hat {L}}'_{x}x_{pm }-i{hat {L}}'_{x}{hat {L}}'_{y}x_{pm }+{hat {L}}'_{z}{}^{2}x_{pm }={hat {L}}'_{mp }{hat {L}}'_{pm }x_{pm }-i[{hat {L}}'_{x},{hat {L}}'_{y}]x_{pm }+{hat {L}}_{z}'{}^{2}x_{pm }}

{displaystyle ={hat {L}}_{mp }'{hat {L}}_{pm }'x_{pm }-i{hat {L}}'_{z}x_{pm }+{hat {L}}'_{z}{}^{2}x_{pm }}

、ここで

{displaystyle {hat {L}}'_{mp }{hat {L}}'_{pm }x_{pm }=x_{pm }{hat {L}}'_{mp }{hat {L}}'_{pm }+{hat {L}}'_{mp }[{hat {L}}'_{pm },x_{pm }]+[{hat {L}}'_{mp },x_{pm }]{hat {L}}'_{pm }}

{displaystyle =x_{pm }{hat {L}}'_{mp }{hat {L}}'_{pm }mp 2z{hat {L}}'_{pm }}

{displaystyle -i{hat {L}}'_{z}x_{pm }=-ix_{pm }{hat {L}}'_{z}-i[{hat {L}}'_{z},x_{pm }]}

{displaystyle =-ix_{pm }{hat {L}}'_{z}mp ix_{pm }}

{displaystyle {hat {L}}'_{z}{}^{2}x_{pm }=x_{pm }{hat {L}}'_{z}{}^{2}+{hat {L}}'_{z}[{hat {L}}_{z},x_{pm }]+[{hat {L}}'_{z},x_{pm }]{hat {L}}'_{z}}

{displaystyle =x_{pm }{hat {L}}'_{z}{}^{2}+2[{hat {L}}'_{z},x_{pm }]{hat {L}}'_{z}+[{hat {L}}'_{z},[{hat {L}}'_{z},x_{pm }]]}

{displaystyle =x_{pm }{hat {L}}'_{z}{}^{2}pm 2x_{pm }{hat {L}}'_{z}+x_{pm }}

なので求めるべき式が従う。

工学的応用編集

電磁波(光を含む)が軌道角運動量を持ち、これが異なると、同一周波数かつ同一の方角からの送信であっても特別な受信装置では(少なくともごく短距離において)混信を免れることが判明しており、光渦多重通信もしくは軌道角運動量多重通信という。伝送距離の上限などを改善して各種無線通信のほか光ファイバー通信への応用を目指す研究がなされている。

参考文献編集

[原1994] 原康夫『５量子力学』岩波書店〈岩波基礎物理シリーズ〉、1994年6月6日。ISBN 978-4000079259。
[ランダウ＝リフシッツ小教程] L.D. ランダウ、E.M.リフシッツ著、好村滋洋、井上健男訳『ランダウ＝リフシッツ物理学小教程　量子力学』ちくま学芸文庫、2008年6月10日。
[A07] Joṥe Alvarado (2007年12月4日). “Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics (PDF)”. 2016年12月1日閲覧。
[H13] Brian C.Hall (2013/7/1). Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics 267. Springer
[T10] Gerald Teschl (2010). Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrödinger Operators. Graduate Texts in Mathematics 157 (SECOND EDITION ed.). Springer
[日本測地学会]高知大学自然科学系田部井隆雄、神奈川県温泉地学研究所里村幹夫、京都大学大学院理学研究科福田洋一 (2004年). “4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式”. 日本測地学会. 2017年1月4日閲覧。
[武藤11-14]武藤一雄. “第１４章　軌道角運動量 (pdf)”. 量子力学第二平成２３年度　学部　５学期 . 東京工業大学. 2017年8月13日閲覧。
[武藤11-15]武藤一雄. “第１５章中心力ポテンシャルでの束縛状態 (pdf)”. 量子力学第二平成２３年度　学部　５学期 . 東京工業大学. 2017年8月13日閲覧。

脚注編集

^ ^a ^b 原1994
^ 武藤11-14、p6
^ ^a ^b 武藤11-15 p13
^ H13 p396 Def 17.1、A07 p37。
^ 理由： $λ$ は準同型であり、 $λ$ がリー環 $so (3)$ に誘導するリー環準同型が $λ *$ であるので $λ *$ はリー括弧を保存する。
^ A07
^ 日本測地学会 2004

軌道角運動量

目次

概要編集

定義編集

定義に至る背景編集

一般化編集

性質編集

交換関係編集

極座標表示編集

軌道角運動量の自乗編集

定義編集

交換関係編集

極座標表示編集

ラプラシアンとの関係編集

回転対称性との関係編集

波動関数の回転編集

軌道角運動量演算子との関係編集

証明編集

回転対称性からみた交換関係編集

球面調和関数編集

数学における球面調和関数編集

物理学における球面調和関数編集

２つの定義の関係編集

性質編集

${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}}$ の固有関数編集

(A1)の証明編集

${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ の固有関数編集

量子数編集

昇降演算子編集

定義編集

性質編集

その他の性質編集

証明編集

工学的応用編集

参考文献編集

脚注編集

関連項目編集

軌道角運動量

概要編集

定義編集

定義に至る背景編集

一般化編集

性質編集

交換関係編集

極座標表示編集

軌道角運動量の自乗編集

定義編集

交換関係編集

極座標表示編集

ラプラシアンとの関係編集

回転対称性との関係編集

波動関数の回転編集

軌道角運動量演算子との関係編集

証明編集

回転対称性からみた交換関係編集

球面調和関数編集

数学における球面調和関数編集

物理学における球面調和関数編集

２つの定義の関係編集

性質編集

L 2 ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} ^{2}}}} の固有関数編集

(A1)の証明編集

L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} の固有関数編集

量子数編集

昇降演算子編集

定義編集

性質編集

その他の性質編集

証明編集

工学的応用編集

参考文献編集

脚注編集

関連項目編集

${displaystyle {hat {mathbf {L} ^{2}}}}$ の固有関数編集

${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ の固有関数編集