スピン角運動量

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スピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、英: spin angular momentum）は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。粒子の角運動量には、スピン以外にも粒子の回転運動に由来する角運動量である軌道角運動量が存在し、スピンと軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。ここでいう「粒子」は電子やクォークなどの素粒子であっても、ハドロンや原子核や原子など複数の素粒子から構成される複合粒子であってもよい。

「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 $ħ \to 0$ において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからである^[1]^:p196。

量子力学の他の物理量と同様、スピン角運動量は演算子を用いて定義される。この演算子(スピン角運動量演算子)は、スピンの回転軸の方向に対応して定義され、 $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸方向のスピン演算子をそれぞれ ${displaystyle {hat {S}}_{x},{hat {S}}_{y},{hat {S}}_{z}}$ と書き表す。これらの演算子の固有値（＝これら演算子に対応するオブザーバブルを観測したときに得られる値）は整数もしくは半整数である値 $s \geq 0$ を用いて、

{displaystyle -hbar s,-hbar (s-1),ldots ,hbar (s-1),hbar s}

と書き表せる。値 $s$ は、粒子のみに依存して決まり、スピン演算子の軸の方向には依存せずに決まる事が知られている。この $s$ を粒子のスピン量子数という。

スピン量子数が半整数 $1 / 2, 3 / 2, \dots$ になる粒子をフェルミオン、整数 $0, 1, 2, \dots$ になる粒子をボゾンといい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。2016年現在知られている範囲において、

フェルミオンである素粒子のスピン量子数は全て $1 / 2$ である。
ボゾンである素粒子はヒッグス粒子のみスピン量子数が $0$ であり、それ以外のボゾン素粒子のスピン量子数は $1$ である。
複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子のスピン量子数は $0$ であるが、これを構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数である。

非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは大きく異る振る舞いをする為、スピン角運動量を記述するためだけに理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。

本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。

準備編集

本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。

数学の準備編集

スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。 $R$ を実数全体の集合、 $C$ を複素数全体の集合とする。3次元空間 $R 3$ における回転行列全体の集合を

{displaystyle mathrm {SO} (3)={Rin M_{n,n}(mathbf {R} )~:~{}^{t}RR=I,~det R=1}}

と表記する。ここで ${displaystyle M_{n,n}(mathbf {R} )}$ は $n$ 行 $n$ 列の実行列全体の集合であり、 $I$ は単位行列であり、 $t R$ は $R$ の転置行列である。 $SO (3)$ は行列の積に関して群をなすので、 $SO (3)$ を3次元回転群という。

$SO (3)$ のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という（厳密な定義はリー群の項目を参照）。特に $SO (3)$ のように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。以下で $V$ は複素計量ベクトル空間であり、 $I$ は単位行列であり、 $A *$ は $A$ のエルミート共役である：

3次元回転群

{displaystyle mathrm {SO} (3)={Rin M_{n,n}(mathbf {R} )~:~{}^{t}RR=I,~det R=1}}

…(G1)

ユニタリ群

{displaystyle mathrm {U} (V)={U~:~V}

上の線形写像で、

{displaystyle UU^{*}=I}}

…(G2)

特殊ユニタリ群

{displaystyle mathrm {SU} (V)={U~:~V}

上の線形写像で、

{displaystyle UU^{*}=I,~mathrm {det} U=1}}

…(G3)

ベクトル空間 $V$ が $C n$ である場合は、 $U (V)、 SU (V)$ の事をそれぞれ $U (n)、 SU (n)$ と表記する。

$G$ を $SO (3)、 U (V)、 SU (V)$ のいずれかとするとき、集合

{displaystyle {mathsf {g}}={Bigg {}{operatorname {d} R(t) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}~:~R(t)}

は

G

上の可微分な曲線で、

t = 0

のとき単位行列となる

{displaystyle {Bigg }}}

…(G4)

を $G$ のリー環と呼び、 ${displaystyle {mathsf {g}}}$ の元を $G$ 上の無限小変換と呼ぶ。リー「環」という名称なのは、 ${displaystyle {mathsf {g}}}$ が行列の交換子積

{displaystyle [A,B]=AB-BA}

に関して環をなすからである。 $SO (3)、 U (V)、 SU (V)$ のリー環はそれぞれ、

{displaystyle {mathsf {so}}(3)={Fin M_{n,n}(mathbf {R} )~:~{}^{t}F=-F}}

…(G5)

{displaystyle {mathsf {u}}(V)={A~:~A}

は

V

上の線形写像で、

{displaystyle A^{*}=-A}={A~:~A}

は

V

上の歪エルミート演算子

{displaystyle }}

…(G6)

{displaystyle {mathsf {su}}(V)={A~:~}

は

V

上の線形写像で、

{displaystyle A^{*}=-A,~mathrm {tr} A=0}}

…(G7)

である。 $so (3)$ が上述した形になるのは以下の理由による。 $R (t)$ を $SO (3)$ 上の可微分な曲線で、 $t = 0$ のとき単位行列となるものとすると、 $SO (3)$ の定義より、

{displaystyle {}^{t}R(t)R(t)=I}

なので、その $t = 0$ での微分は

{\frac{^{t} d R (t)}{d t} |}_{t = 0} + {\frac{d R (t)}{d t} |}_{t = 0} = 0

を満たす為である。 $u (V)、 su (V)$ が上述の形になる事も同様の方法で証明できる。なお、ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元のヒルベルト空間の場合も同様の事が成立する。

${displaystyle {mathsf {g}}}$ を $so (3)、 u (V)、 su (V)$ のいずれかとし、行列 ${displaystyle Ain {mathsf {g}}}$ に対し $exp (A)$ を

{displaystyle mathrm {exp} (A)=sum _{n=0}^{infty }{A^{n} over n!}}

…(G8)

と定義すると次が成立する：

A \in so (3)、 u (V)、 su (V)

であれば、

exp (A)

はそれぞれ

SO (3)、 U (V)、 SU (V)

の元である。 …(G9)

{displaystyle {operatorname {d} over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}exp(tA)=A}

…(G10)

$SO (3)$ に関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。3次元ベクトル $x = (x, y, z) \in R 3$ に対し、so(3)に属する行列 $F x$ を

{displaystyle F_{boldsymbol {x}}={begin{pmatrix}0&-z&y\z&0&-x\-y&x&0end{pmatrix}}in {mathsf {so}}(3)}

…(G11)

と定義すると^[2]^:p344^[3]^:p36次が成立する^[3]^:p36：

exp (F x)

は

x

を軸とする回転行列で、回転角は軸に対しては右回りに

|| x ||

ラジアンである。 …(G12)

{displaystyle [F_{mathbf {x} },F_{mathbf {y} }]=F_{mathbf {x} times mathbf {y} }}

…(G13)

ここで「 $\times$ 」はクロス積である。 $G$ 、 $H$ を $SO (3)、 U (V)、 SU (V)$ のいずれかとし、 ${displaystyle {mathsf {g}}}$ 、 ${displaystyle {mathsf {h}}}$ を $G$ 、 $H$ のリー環とする。（すなわち ${displaystyle {mathsf {g}}}$ 、 ${displaystyle {mathsf {h}}}$ は $so (3)、 u (V)、 su (V)$ のいずれかである）。

{displaystyle pi ~:~Gto H}

を $G$ から $H$ への可微分な準同型写像とする。このとき $π$ が誘導する写像 $π *$ を

{displaystyle pi _{*}~:~{operatorname {d} R(t) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}in {mathsf {g}}}

{displaystyle mapsto {operatorname {d} pi (R(t)) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}in {mathsf {h}}}

…(G14)

により定義すると、この写像はwell-definedになる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち

{displaystyle pi _{*}([A,B])=[pi (A),pi (B)]}

…(G15)

である。

$π$ が誘導する写像 $π *$ と行列の指数関数 $exp$ は以下の関係を満たす：

任意の

{displaystyle Ain {mathsf {g}}}

に対し、

{displaystyle pi (exp(A))=exp(pi _{*}(A))}

…(G16)

空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子編集

（非相対論的な）量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間 ${displaystyle {mathcal {H}}}$ として記述可能であり、（スピンを考慮しない）一粒子からなる系の場合、 ${displaystyle {mathcal {H}}}$ は3次元ユークリッド空間 $R 3$ 上の $L 2$ 空間と等しい、すなわち

{displaystyle {cal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})}

である。

軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される^[1]^:p73。そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を $SO (3)$ と書くとき、回転行列 $R \in SO (3)$ により座標系を回転したとき、波動関数 $ϕ (x)$ は $ϕ (R - 1 x)$ に移動する。すなわち、各回転行列 $R \in SO (3)$ に対し、波動関数の空間 ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ 上にユニタリ演算子

{displaystyle lambda (R)~:~L^{2}(mathbf {R} ^{3})to L^{2}(mathbf {R} ^{3}),~~}

{displaystyle phi ({boldsymbol {x}})mapsto phi (R^{-1}{boldsymbol {x}})}

が定義される^[3]^:p37^[2]^{:p396 Def 17.1}。

複素計量ベクトル空間 $V$ 上のユニタリ演算子全体のなす群を $U (V)$ とするとき、回転行列 $R$ に対し複素ベクトル空間 ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ 上のユニタリ演算子 $λ R$ を対応させる（連続準同型）写像

{displaystyle lambda ~:~Rin mathrm {SO} (3)mapsto lambda (R)in mathrm {U} (L^{2}(mathbf {R} ^{3}))}

を $SO (3)$ の ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ 上のユニタリ表現という。

一方、 $SO (3)$ に対応する「無限小変換」全体の集合 $so (3)$ を(G1)のように定義し、(G14)に従って $λ$ が誘導する写像 $λ *$ を

{displaystyle lambda _{*}~:~{operatorname {d} R(t) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}in {mathsf {so}}(3)}

{displaystyle mapsto {operatorname {d} lambda (R(t)) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}in {L^{2}(mathbf {R} ^{3})}

上の歪エルミート演算子

{displaystyle }}

そこで単位ベクトル $n = (x, y, z) \in R 3$ に対し、 $F n$ を(G11)のように定義し、虚数単位 $i$ と換算プランク定数 $ħ$ を用いて、

{displaystyle {hat {L}}_{mathbf {n} }}

{displaystyle =ihbar lambda _{*}(F_{mathbf {n} })}

　　…(J1)

と定義すると、 ${displaystyle {hat {L}}_{mathbf {n} }}$ は $L 2 (R 3)$ 上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転 $F n$ に対応する演算子」^[1]^:p73であり、この演算子を軸 $n = (x, y, z) \in R 3$ の周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。

例えば $z$ 軸の周りの軌道角運動量 ${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ が球面座標系 $(r, θ, φ)$ を用いて

{displaystyle {hat {L}}_{z}=-ihbar {partial over partial varphi }}

と表記できる事を以下のように確認できる。 $ψ$ を任意の波動関数とすると、(G10)、(G12)より

{displaystyle {hat {L}}_{z}psi (r,theta ,varphi )}

{displaystyle =ihbar lambda _{*}(F_{(1,0,0)})psi (r,theta ,varphi )}

{displaystyle =lambda _{*}left({operatorname {d} over operatorname {d} t}exp(tF_{(1,0,0)}){Bigg |}_{t=0}right)psi (r,theta ,varphi )}

{displaystyle =ihbar {operatorname {d} lambda (exp(tF_{(1,0,0)})) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}psi (r,theta ,phi )}

{displaystyle =ihbar {operatorname {d} over operatorname {d} t}psi (r,theta ,varphi -t){Bigg |}_{t=0}}

{displaystyle =-ihbar {partial over partial varphi }psi (r,theta ,varphi )}

さらに $x$ 軸、 $y$ 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ ${displaystyle {hat {L}}_{x}}$ 、 ${displaystyle {hat {L}}_{y}}$ とし、 $F x = F (1, 0, 0) 、 F y = F (0, 1, 0) 、 F z = F (0, 0, 1)$ とすると、(G15)、(G13)より交換関係

{displaystyle [{hat {L}}_{x},{hat {L}}_{y}]=(ihbar )^{2}lambda _{*}([F_{x},F_{y}])=(ihbar )^{2}lambda _{*}(F_{z})={hat {L}}_{z}}

{displaystyle [{hat {L}}_{y},{hat {L}}_{z}]=(ihbar )^{2}lambda _{*}([F_{y},F_{z}])=(ihbar )^{2}lambda _{*}(F_{x})={hat {L}}_{x}}

{displaystyle [{hat {L}}_{z},{hat {L}}_{x}]=(ihbar )^{2}lambda _{*}([F_{z},F_{x}])=(ihbar )^{2}lambda _{*}(F_{z})={hat {L}}_{y}}

が従う。

2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、 $SO (3)$ のユニタリ表現 $λ$ によって結ばれる。すなわち、 $R$ を回転行列で $z$ 軸を $w$ 軸に移すものとすると、 $w$ 軸の周りの軌道角運動量 ${displaystyle {hat {L}}_{w}}$ は合成写像

{displaystyle {hat {L}}_{w}=lambda (R){hat {L}}_{z}lambda (R)^{-1}}

である。

スピンを考慮した場合の波動関数空間 ${displaystyle {mathcal {H}}}$ の数学的定式化編集

前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表す $(x, y, z)$ による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンは $(x, y, z)$ とは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、波動関数全体のなすヒルベルト空間 ${displaystyle {mathcal {H}}}$ は一粒子系であっても ${displaystyle {mathcal {H}}}$ は $L 2 (R 3)$ とは等しくならない。

したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間 $V s$ を $L 2 (R 3)$ とは別個に用意し、

{displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}

を考える必要がある^[4]。ここで添字 $s \geq 0$ は整数もしくは半整数であり、 $V s$ は $2 s + 1$ 次元の複素計量ベクトル空間である。

一粒子系の波動関数の空間 ${displaystyle {mathcal {H}}}$ が上述のように表記できるとき、 $s$ をその粒子のスピン量子数という^[2]^:p384。 $V s$ をスピノール空間^[3]^:p50、 $V s$ の元をスピノールという。 $s$ が整数ではない半整数になるときその粒子をフェルミオンといい、 $s$ が整数になるときその粒子をボゾンという。

スピンを考慮した波動関数の表示方法編集

多くの物理の教科書では、スピンを考慮した波動関数 ${displaystyle psi in {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ を二通りの方法で表記する。そこで次にこの二通りの表記方法を紹介する。

成分表示編集

テンソル積の定義より、波動関数 ${displaystyle psi in {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ は

{displaystyle psi =sum _{j}phi _{j}(x,y,z)otimes sigma _{j}}

　　　　　…(B1)

という形に成分表示できる。ここで ${displaystyle phi _{j}(x,y,z)}$ は $L 2 (R 3)$ の元であり、 $σ j$ は $V s$ の元である。そこで、

{displaystyle varphi _{j}(x,y,z,sigma ):=phi _{j}(x,y,z)otimes sigma }

と定義すれば、

{displaystyle psi =sum _{j}varphi _{j}(x,y,z,sigma _{j})}

である。このように表記すると、スピン（を表すスピノール） $σ j$ が $(x, y, z)$ とは独立の第四の内部自由度である事がわかりやすい。

スピノール表示編集

スピンを考慮した波動関数 $ψ$ の成分表示(B1)を別の角度から解釈する。スピンを考慮した波動関数 $ψ$ に対し、 $ψ' (x, y, z)$ を

{displaystyle psi '(x,y,z):=sum _{j}phi _{j}(x,y,z)cdot sigma _{j}in V_{s}}

と定義する事ができる。なお上式で「・」はベクトル $σ j$ の ${displaystyle phi _{j}(x,y,z)}$ によるスカラー倍である。スピンを考慮しない通常の波動関数が1次元複素計量ベクトル空間 $C$ に値を取るのに対し、 $ψ' (x, y, z)$ は $2 s + 1$ 次元複素計量ベクトル空間 $V s$ に値を取る波動関数であるとみなせる。スピンを考慮した波動関数 $ψ$ を、 $V s$ に値を取る波動関数とみなしたものを、 $ψ$ のスピノール表示という。

多くの物理の教科書では、 $V s$ の元を成分表示した形で紹介している。 $e - s, e -(s - 1), \dots, e s - 1, e s$ を $V s$ の基底とするとき、 $ψ' (x, y, z)$ は必ず

{displaystyle psi '(x,y,z):=sum _{j}phi '_{j}(x,y,z)cdot e_{j}in V_{s}}

の形で表記できるので、 $ψ' (x, y, z)$ はベクトル

{displaystyle {begin{pmatrix}phi '_{-s}(x,y,z)\vdots \phi '_{s}(x,y,z)\end{pmatrix}}}

と成分表示できる。

なお基底 $e - s, e -(s - 1), \dots, e s - 1, e s$ は通常、（何らかの軸に関する）スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。

スピンを考慮した場合のオブザーバブル編集

量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル ${displaystyle {hat {A}}}$ は、 $L 2 (R 3)$ 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子 ${displaystyle {hat {A}}}$ を

{displaystyle {hat {A}}otimes mathrm {id} ~:~L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}to L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s},}

{displaystyle sum _{j}phi _{j}(x,y,z)otimes sigma _{j}mapsto sum _{j}{hat {A}}(phi _{j}(x,y,z))otimes sigma _{j}}

と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間 ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ 上のオブザーバブルとみなす。(ここで $id$ は恒等写像である)。

後述するように、スピン角運動量演算子は、 $V s$ 上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、 ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ 上のオブザーバブルとみなす。すなわち ${displaystyle {hat {S}}}$ を（何らかの軸に関する）スピン角運動量とするとき、 ${displaystyle {hat {S}}}$ は

{displaystyle mathrm {id} otimes {hat {S}}~:~L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}to L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s},~~}

{displaystyle sum _{j}phi _{j}(x,y,z)otimes sigma _{j}mapsto sum _{j}phi _{j}(x,y,z)otimes {hat {S}}(sigma _{j})}

と同一視する。

$V s$ 上のユニタリ表現に関する問題編集

軌道角運動量演算子が ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ 上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は $V s$ に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義における ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ を単純に $V s$ に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。

軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 $SO (3)$ の ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ 上のユニタリ表現

{displaystyle lambda (R(t))~:~L^{2}(mathbf {R} ^{3})to L^{2}(mathbf {R} ^{3}),~~phi ({boldsymbol {x}})mapsto phi (R(t)^{-1}{boldsymbol {x}})}

を $t$ に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。

したがって軌道角運動量演算子の定義において単純に ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})}$ を $V s$ に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、 $SO (3)$ の $V s$ 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られている^[2]^{:p375 Thm 17.10}：

定理1 ― 次が成立する：

$s$ が整数の場合、 $SO (3)$ の $V s$ 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
$s$ が整数でない半整数の場合、 $SO (3)$ の $V s$ 上の既約なユニタリ表現は存在しない。

すなわち上述した方法論では、 $s$ が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。

射影ユニタリ表現を用いた解決編集

一つ目の解決方法は $V s$ を直接考えるのではなく、 $V s$ の元を位相の相違を無視する同値関係^[2]^:p368

{displaystyle phi sim psi }

{displaystyle {overset {def}{iff }}exists alpha in [0,2pi ]~:~phi =mathrm {e} ^{ialpha }psi }

で割った空間

{displaystyle V_{s}/sim }

を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係

{displaystyle Usim U'}

{displaystyle {overset {def}{iff }}exists alpha in [0,2pi ]~:~U=mathrm {e} ^{ialpha }U'}

により同一視した同値類 $[U]$ を考えるというものである^[2]^:p369。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を

{displaystyle mathrm {PU} (V_{s})=mathrm {U} (V_{s})/sim }

と表記する。 $PU (V s)$ を $V s$ 上の射影ユニタリ群、 $PU (V s)$ に属する同値類を $V s$ 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。

射影ユニタリ演算子 $[U]$ は $V s / \sim$ 上の写像となる事が知られている：

{displaystyle [U]~:~V_{s}/sim ~to ~V_{s}/sim }

そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、 $SO (3)$ のユニタリ表現の代わりに $SO (3)$ の射影ユニタリ表現

{displaystyle Rin mathrm {SO} _{3}mapsto lambda '(R)in mathrm {PU} (V_{s})}

を用いる。

通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られている^[2]^:p383-384

定理2 ― $s$ が整数であっても半整数であっても、 $SO (3)$ の $V s$ 上の既約な射影ユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。

よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。

本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。

射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。

スピン群を用いた解決方法編集

今一つの解決は、 $SO (3)$ の代わりに3次元スピン群 $Spin (3)$ を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。 $n$ 次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。（このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている）：

可微分準同型写像

Φ n : Spin (n) \to SO (n)

で、2:1 の全射となるものが存在する。　　　…C1

ここで $SO (n)$ は $n$ 次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群 $Spin (3)$ であり、 $Spin (3)$ は2次元特殊ユニタリ変換群 $SU (2)$ と同型なことが知られている：

{displaystyle mathrm {Spin} (3)simeq mathrm {SU} (2)={Uin mathrm {M} _{2,2}(mathbf {C} )~:~U^{*}U=I,~mathrm {det} U=1}}

したがって以下、特に断りがない限り $Spin (3)$ と $SU (2)$ を同一視する。

スピン群の定義より、回転行列 $R$ は何らかのスピン群の元 $U$ を用いて

{displaystyle R=Phi _{3}(U)}

と書くことができる。これはすなわち、回転行列 $R$ を直接扱う代わりに、スピン群の元 $U$ により回転が記述可能な事を意味する。そこで $SO (3)$ のユニタリ表現の代わりに $Spin (3)$ のユニタリ表現を考える。 $SO (3)$ のユニタリ表現と違い、 $Spin (3)$ のユニタリ表現は以下を満たす^[2]^:p383-384:

定理3 ― $s$ が整数であっても半整数であっても、 $Spin (3)$ の $V s$ 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。

よって $SO (3)$ のユニタリ表現の代わりに $Spin (3)$ のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。

2つの解決方法の同値性編集

上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは $Spin (3)$ のユニタリ表現と $SO (3)$ の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、 $π s (S)$ をスピン群の元 $S$ の $V s$ 上のユニタリ表現とし、 $γ (R)$ を回転行列 $R$ の $V s$ 上の射影ユニタリ表現とすると、（適切に同型なものと置き換えれば）以下の図式が可換になる。ここで $proj$ は同値類を取る写像。

{displaystyle {begin{array}{ccc}mathrm {Spin} (3)&{overset {Phi _{3}}{longrightarrow }}&mathrm {SO} (3)\pi _{s}{Big downarrow }&circlearrowleft &gamma {Big downarrow }\mathrm {U} (V_{s})&{overset {text{proj}}{longrightarrow }}&mathrm {PU} (V_{s})end{array}}}

スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記編集

以上の議論により、 $Spin (3)= SU (2)$ を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる

スピノール空間 $V s$
定理3で述べた $Spin (3)= SU (2)$ の既約ユニタリ表現 ${displaystyle pi _{s}~~:~~mathrm {Spin} (3)to mathrm {U} (2)}$
$Spin (3) = SU (2)$ から $S O (3)$ への写像 ${displaystyle Phi _{3}~~:~~mathrm {Spin} (3)to mathrm {SO} (3)}$

などを具体的に書き表す。ただし本節では $V s$ と $π s$ に関しては最も重要な $s = 1 / 2$ の場合を述べるに留める。それ以外の $s$ に関しては後の章を参照されたい。

スピン $1 / 2$ の場合の $V s$ と $π s$ の具体的表記編集

$M 2, 2 (C)$ を複素二次正方行列全体の集合とし、 $I$ を単位行列とするとき、 $Spin (3) = SU (2)$ は2次元ユニタリ変換全体の集合

{displaystyle U(2)={Uin M_{2,2}(mathbf {C} )~:~U^{*}U=I}}

の部分集合である。したがって

{displaystyle V_{1/2}=mathbf {C} ^{2}}

…(H1)

と定義すると、包含写像

{displaystyle mathrm {id} ~:~Uin mathrm {SU} (2)mapsto Uin mathrm {U} (2)}

は $Spin (3) = SU (2)$ の元の $V 1 / 2$ 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、定理3で述べた既約ユニタリ表現の $s = 1 / 2$ の場合に相当している。すなわち、

{displaystyle pi _{1/2}=mathrm {id} }

…(H2)

無限小変換の集合 $spin (3)= su (2)$ の具体的表記編集

軌道角運動量を定義する際 $SO (3)$ の無限小変換の集合 $so (3)$ が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義には $Spin (3) = SU (2)$ の「無限小変換」全体の集合 $spin (3)= su (2)$ を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(G4)、(G7)より、

{displaystyle {mathsf {spin}}(3)={mathsf {su}}(2)={Bigg {}{operatorname {d} U(t) over operatorname {d} t}{Bigg |}_{t=0}~:~U(t)}

は

Spin (3) = SU (2)

上の可微分な曲線で、

t = 0

のとき単位行列となる

{displaystyle {Bigg }}}

.

{displaystyle ={Ain M_{2,2}(mathbf {C} )~:~A^{*}=-A,~mathrm {tr} A=0}}

　　...(L1)

である。 $su (2)$ 上に内積

{displaystyle langle A,Brangle :=2mathrm {tr} (AB^{*})}

　　　…L2

を定義すると^[5]、 $su (2)$ は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。

次に $su (2)$ の基底について述べる。パウリ行列 $σ 1, σ 2, σ 3$ を

{displaystyle sigma _{1}={begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}}{mbox{, }}quad sigma _{2}={begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix}}{mbox{, }}quad sigma _{3}={begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}}}

…(L3)

により定義し、 $su (2)$ の元 $X 1 、 X 2 、 X 3$ を

{displaystyle X_{1}=-{i over 2}sigma _{1}={1 over 2}{begin{pmatrix}0&-i\-i&0end{pmatrix}},~~X_{2}=-{i over 2}sigma _{1}={1 over 2}{begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}},~~X_{3}=-{i over 2}sigma _{3}={1 over 2}{begin{pmatrix}-i&0\0&iend{pmatrix}}}

　　　....(L4)

により定義すると^[3]^:p39-40^[6]^:p31,73、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。

$X 1 、 X 2 、 X 3$ は $spin (3) = su (2)$ 上の正規直交基底である^[3]^:p39-40^[6]^:p31,73。　　　　...(L5)

そこで3次元ベクトル $x =(x, y, z)\in R 3$ に対し、

{displaystyle X_{mathbf {x} }=xX_{1}+yX_{2}+zX_{3}=-{i over 2}(xsigma _{1}+ysigma _{2}+zsigma _{3})={1 over 2}{begin{pmatrix}-iz&-y-ix\y-ix&izend{pmatrix}}}

　　　　…(L6)

と定義すると、写像

{displaystyle mathbf {x} in mathbf {R} ^{3}{overset {sim }{to }}X_{mathbf {x} }in {mathsf {spin}}(3)}

により ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ と $spin (3) = su (2)$ を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する^[6]^:p65：

{displaystyle X_{mathbf {x} times mathbf {y} }=[X_{mathbf {x} },X_{mathbf {y} }]}

ここで「 $\times$ 」はクロス積であり、 $[A, B] = AB - BA$ は交換子積である。

$Spin (3)$ の元の具体的表記編集

$Spin (3) = SU (2)$ は、 $α, β$ の実数を用いて

{displaystyle mathrm {SU} (2)=left{{begin{pmatrix}alpha &beta \-{bar {beta }}&{bar {alpha }}end{pmatrix}}{Bigg |}alpha ,beta in mathbf {C} ,~|alpha |^{2}+|beta |^{2}=1right}}

…(X1)

と書き表すことができる事が簡単な計算から従う^[3]^:p38^[6]^:p65。

一方、 $n =(x, y, z)\in R 3$ を単位ベクトルとし、パウリ行列を使って

{displaystyle sigma _{mathbf {n} }=xsigma _{1}+ysigma _{2}+zsigma _{3}}

　…(X2)

と定義すると簡単な計算により、

{displaystyle sigma _{mathbf {n} }^{2}=I}

がわかる。よって行列 $A$ に対する指数関数 $exp (A)$ を(A3)式のように定義すると、 $τ \in [0, 2 π]$ に対し、

{displaystyle exp(itau sigma _{mathbf {n} })=sum _{j=0}^{infty }{1 over j!}(itau sigma _{mathbf {n} })^{j}}

= \sum_{j : even} \frac{(i τ)^{j}}{j!} I + \sum_{j : odd} \frac{(i τ)^{j}}{j!} σ_{n}

{displaystyle =cos(tau )I+isin(tau )sigma _{mathbf {n} }}

...(X3)

が従う^[6]^:p28-29。

{displaystyle theta =2tau }

とすると、(L4)で述べた $spin (3)= su (2)$ の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(X1)、(X2)、(X3)からわかる：

Spin (3)= SU (2)

の任意の元

U

は単位ベクトル

n =(x, y, z)\in R 3

と

θ \in[0, 4 π]

を用いて

{displaystyle U=exp(theta X_{mathbf {n} })}

の形で表記可能である。しかも

S \neq I, - I

であればこのように表記できる

n

、

θ

は一意である。 ...(X4)

$Spin (3)$ から $SO (3)$ への準同型写像 $Φ 3$ 編集

前の節で述べたように、 $su (2)$ は3次元の計量ベクトル空間なので、 $R 3$ と同一視できる。 $U \in Spin (3) = SU (2)$ と ${displaystyle Yin {mathsf {su}}(2)simeq mathbf {R} ^{3}}$ に対し、 $UYU - 1$ も ${displaystyle {mathsf {su}}(2)simeq mathbf {R} ^{3}}$ の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像 $Φ 3 (U)$ を

{displaystyle Phi _{3}(U)~:~Yin {mathsf {su}}(2)simeq mathbf {R} ^{3}mapsto UYU^{-1}in {mathsf {su}}(2)simeq mathbf {R} ^{3}}

と定義すると $Φ 3 (U)$ が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわち $Φ 3 (U)$ は回転変換であるので、 $Φ 3 (U)\in SO (3)$ である。

以上により、 $Spin (3)$ から $SO (3)$ への準同型写像

{displaystyle Phi _{3}~:~Uin mathrm {Spin} (3)=mathrm {SU} (2)mapsto Phi _{3}(U)in mathrm {SO} (3)}

が定義できた。この $Φ 3$ の具体的表記は後の節で述べる。

$Φ 3$ が誘導する写像 $(Φ 3) *$ の定義とその具体的表記編集

(G14)に従い、 $Φ 3$ が誘導する写像 $(Φ 3) *$ を、

(Φ_{3})_{*} : {\frac{d U (t)}{d t} |}_{t = 0} \in s p i n (3) = s u (2) \mapsto {\frac{d Φ_{3} (U (t))}{d t} |}_{t = 0} \in s o (3)

…(D1)

により定義する。このとき $(Φ 3) *$ は

{displaystyle (Phi _{3})_{*}(X_{mathbf {x} })=F_{mathbf {x} }}

…(D2)

を満たす^[3]^:p43^[6]^:p73。成分で書けば

{displaystyle {1 over 2}(Phi _{3})_{*}{begin{pmatrix}-iz&-y-ix\y-ix&izend{pmatrix}}={begin{pmatrix}0&-z&y\z&0&-x\-y&x&0end{pmatrix}}}

である。特に

{displaystyle (Phi _{3})_{*}~:~{mathsf {spin}}(3){overset {sim }{to }}{mathsf {su}}(2)}

…(D3)

は同型写像である。

(D2)の証明

(X4)より、 $Spin (3)$ 上の曲線 $U (t)$ は3次元空間曲線 $x (t)\in R 3$ を用いて

{displaystyle U(t)=exp(X_{mathbf {x} (t)})}

という形で表記できる。 $x =(x 1, x 2, x 3)= x (0)$ とすると、任意の $Y = v 1 X 1 + v 2 X 2 + v 3 X 3 \in spin (3)= su (2)$ に対し、

{displaystyle (Phi _{3})_{*}(X_{mathbf {x} })Y=left.{operatorname {d} over operatorname {d} t}Phi _{3}(exp(X_{mathbf {x} (t)}))Yright|_{t=0}}

{displaystyle =left.{operatorname {d} over operatorname {d} t}exp(X_{mathbf {x} (t)})Yexp(-X_{mathbf {x} (t)})right|_{t=0}=X_{mathbf {x} }E-EX_{mathbf {x} }}

{displaystyle =[X_{mathbf {x} },Y]=sum _{j,k}x_{j}v_{k}[X_{j},X_{k}]}

{displaystyle =(X_{1},X_{2},X_{3}){begin{pmatrix}0&-x_{3}&x_{2}\x_{3}&0&-x_{1}\-x_{2}&x_{1}&0end{pmatrix}}{begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}end{pmatrix}}}

である。ここで $[A, B]= AB - BA$ は交換子積である。

よって $Y$ の任意性と(G11)から以下の結論が得られる：

{displaystyle (Phi _{3})_{*}(X_{mathbf {x} })=F_{mathbf {x} }}

$Φ 3$ の具体的表記編集

(G16)、(D2)より、

{displaystyle Phi _{3}(exp(theta X_{mathbf {x} }))=exp((Phi _{3})_{*}(theta X_{mathbf {x} }))=exp(theta F_{mathsf {x}})}

…(E1)

である。(X4)より、 $Spin (3)$ の元は何らかの $θ \in[0, 4 π]$ を用いて、 $exp (θ X x)$ の形に書けるので、上式により $Φ 3$ の振る舞いを完全に記述可能である。

しかも

{displaystyle Phi _{3}(exp((theta +2pi )X_{mathbf {n} }))=exp((theta +2pi )F_{mathbf {n} })}

{displaystyle =exp(theta F_{mathbf {n} })=Phi _{3}(exp(theta X_{mathbf {n} }))}

であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、 $Φ 3$ が2:1の写像であるという事実が確認できる。

$Spin (3)= SU (2)$ の元の成分表示(X1)を用いると、 $Φ 3$ は下記のように表示できることも知られている^[6]^:p74：

{displaystyle Phi _{3}{begin{pmatrix}alpha &beta \-{bar {beta }}&-alpha end{pmatrix}}={begin{pmatrix}mathrm {Re} (alpha ^{2}-beta ^{2})&mathrm {Im} (alpha ^{2}+beta ^{2})&-2mathrm {Re} (alpha beta )\-mathrm {Im} (alpha ^{2}-beta ^{2})&mathrm {Re} (alpha ^{2}+beta ^{2})&2mathrm {Im} (alpha beta )\2mathrm {Re} (alpha {bar {beta }})&2mathrm {Im} (alpha {bar {beta }})&|alpha |^{2}-|beta |^{2}\end{pmatrix}}}

スピン角運動量演算子の定義と性質編集

スピン角運動量演算子の定義編集

以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。

{displaystyle pi ~:~mathrm {Spin} (3)to mathrm {U} (V_{s})}

を $Spin (3)= SU (2)$ の $V s$ 上の既約ユニタリ表現とする（そのようなユニタリ表現の存在性と（同型を除いた）一意性は定理3で保証される）。なお $s = 1 / 2$ に対する $V s$ 、 $π s$ は(H1)、(H2)にすでに記載した。それ以外のsに対する $V s$ 、 $π s$ は次節以降に後述する。

さらに

{displaystyle Phi _{3}~:~mathrm {Spin} (3)to mathrm {SO} (3)}

を(C1)式で述べた、 $Spin (3)$ から $SO (3)$ への 2:1 写像とする（この写像の具体的な形は(E1)式を参照）。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「 ${displaystyle G{}^{curvearrowright }V}$ 」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する（すなわちGはVに作用する）。

${displaystyle {begin{array}{rl}mathrm {Spin} (3)&{xrightarrow {~~~~~pi ~~~~~}}{}mathrm {U} (V_{s}){}^{curvearrowright }V_{s}\Phi _{3}downarrow &\SO(3)&{}^{curvearrowright }mathbf {R} ^{3}end{array}}}$

$π s$ が誘導する写像 $(π s) *$ を以下のように定義する：

π_{*} : {\frac{d U (t)}{d t} |}_{t = 0} \in s p i n (3) = s u (2) \mapsto {\frac{d π_{s} (U (t))}{d t} |}_{t = 0} \in {V_{s}

上のエルミート演算子

{displaystyle }}

…(F1)

同様に $Φ 3$ が誘導する $(Φ 3) *$ を(D1)式のように定義すると、 $(Φ 3) *$ は(D2)式のように書け、(D3)より

{displaystyle (Phi _{3})_{*}~:~{mathsf {spin}}(3){overset {sim }{to }}{mathsf {so}}(3)}

である。

単位ベクトル $n = (x, y, z) \in R 3$ に対し無限小回転 $X n \in su (2)$ を(L6)式のように定義し、合成写像

{displaystyle X_{boldsymbol {n}}in {mathsf {spin}}(3){overset {(pi _{s})_{*}}{to }}{V_{s}}

上の歪エルミート演算子

{displaystyle }{overset {times ihbar }{to }}{V_{s}}

上のエルミート演算子

{displaystyle }}

によって定まるエルミート演算子

{displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }=ihbar cdot (pi _{s})_{*}(X_{mathbf {n} })}

…(F2)

を考えると、(D2)より、

{displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }=ihbar cdot (pi _{s})_{*}(X_{mathbf {n} })=ihbar cdot (pi _{s})_{*}((Phi _{3})_{*}{}^{-1}(F_{mathbf {n} }))}

と書けるので、 ${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }}$ は3次元空間上の無限小回転 $F n$ に対応する演算子とみなせる。

この ${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }}$ を、 $n$ を回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶ^[3]^:p50-51,60^[7]。

スピン角運動量演算子の性質編集

交換関係編集

$x$ 軸(1,0,0)、 $y$ 軸(0,1,0)、 $z$ 軸(0,0,1)∈ ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ を回転軸に持つスピン角運動量演算子を ${displaystyle {hat {S}}_{x},{hat {S}}_{y},{hat {S}}_{z}}$ とすると、

{displaystyle {begin{array}{rcl}{hat {S}}_{x}&=&ihbar (pi _{s})_{*}(X_{1})\{hat {S}}_{y}&=&ihbar (pi _{s})_{*}(X_{2})\{hat {S}}_{z}&=&ihbar (pi _{s})_{*}(X_{3})end{array}}}

となる。よって(G15)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ：

{displaystyle {begin{aligned}left[{hat {S}}_{x},{hat {S}}_{y}right]=(ihbar )^{2}(pi _{s})_{*}([X_{1},X_{2}])=ihbar cdot ihbar (pi _{s})_{*}(X_{3})=ihbar {hat {S}}_{z}\left[{hat {S}}_{y},{hat {S}}_{z}right]=(ihbar )^{2}(pi _{s})_{*}([X_{2},X_{3}])=ihbar cdot ihbar (pi _{s})_{*}(X_{1})=ihbar {hat {S}}_{x}\left[{hat {S}}_{z},{hat {S}}_{x}right]=(ihbar )^{2}(pi _{s})_{*}([X_{3},X_{1}])=ihbar cdot ihbar (pi _{s})_{*}(X_{2})=ihbar {hat {S}}_{y}end{aligned}}}

回転軸の変更編集

次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。 $n 、 m \in R 3$ を2つの単位ベクトルとし、 $n$ と $m$ が回転行列 $R$ により、

{displaystyle mathbf {n} =Rmathbf {m} }

で移り合っていたとする。写像 $Φ 3 : Spin (3)= SU (2) \to SO (3)$ は２：１の全射であるので、

{displaystyle R=Phi _{3}(U)=Phi _{3}(-U)}

を満たす $U$ が存在する。

スピン角運動量演算子 ${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }}$ 、 ${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {l} }}$ はその定義より、 $V s$ 上のユニタリ演算子であり、両者は

{displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }=pi _{s}(U){hat {S}}_{mathbf {m} }pi _{s}(U)^{-1}}

という関係で結ばれる。ここで右辺は ${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {l} }}$ と $π s (U)$ の行列としての積である。

証明

{displaystyle (Phi _{3})_{*}(X_{mathsf {n}})=F_{mathsf {n}}=RF_{mathsf {m}}R^{-1}=(Phi _{3})_{*}(UX_{mathsf {m}}U^{-1})}

なので、 $(Φ 3) *$ が同型写像である事から、

{displaystyle X_{mathsf {n}}=UX_{mathsf {m}}U^{-1}}

よって任意の $t \in R$ に対し、

{displaystyle exp(tX_{mathsf {n}})=exp(tUX_{mathsf {m}}U^{-1})}

= \sum_{n} \frac{1}{n!} (t U X_{m} U^{- 1})^{n} = \sum_{n} \frac{1}{n!} U (t X_{m})^{n} U^{- 1}

{displaystyle =U(sum _{n}{1 over n!}(tX_{mathsf {m}})^{n})U^{-1}=Uexp(tX_{mathsf {m}})U^{-1}}

したがって

{displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }=ihbar (pi _{s})_{*}(X_{mathbf {n} })=ihbar left.{operatorname {d} over operatorname {d} t}pi _{s}(exp(tX_{mathbf {n} }))right|_{t=0}}

{displaystyle =ihbar pi _{s}(U)left.{operatorname {d} over operatorname {d} t}pi _{s}(exp(tX_{mathbf {m} }))right|_{t=0}pi _{s}(U)^{-1}=ihbar pi _{s}(U)(pi _{s})_{*}(X_{mathbf {m} })pi _{s}(U)^{-1}}

{displaystyle =ihbar pi _{s}(U){hat {S}}_{mathbf {m} }pi _{s}(U)^{-1}}

スピン $1 / 2$ の場合の具体的表記編集

スピン量子数 $s$ が $1 / 2$ である場合、スピノール空間は(H1)より

{displaystyle V_{1/2}=mathbf {C} ^{2}}

であり、単位ベクトル $n = (x, y, z) \in R 3$ を回転軸に持つスピン角運動量演算子は、(H2)、(L6)、(F1)、(F2)より、

{\hat{S}}_{n} = i ℏ \cdot (π_{s})_{*} (X_{n}) = i ℏ \cdot i d (- \frac{i}{2} (x σ_{1} + y σ_{2} + z σ_{3})) = \frac{ℏ}{2} (x σ_{1} + y σ_{2} + z σ_{3})

である。よって特に、

${displaystyle {hat {S}}_{x}={hbar over 2}sigma _{x}={hbar over 2}{begin{pmatrix}0&&1\1&&0end{pmatrix}}}$

${displaystyle {hat {S}}_{y}={hbar over 2}sigma _{y}={hbar over 2}{begin{pmatrix}0&&-i\i&&0end{pmatrix}}}$

${displaystyle {hat {S}}_{z}={hbar over 2}sigma _{z}={hbar over 2}{begin{pmatrix}1&&0\0&&-1end{pmatrix}}}$

${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }}$ は $n$ によらず常に固有値

\frac{ℏ}{2}, - \frac{ℏ}{2}

を持つ。

それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。

{displaystyle {begin{aligned}&|s_{x,+}rangle ={frac {1}{sqrt {2}}}&{begin{pmatrix}1\1end{pmatrix}},&&|s_{x,-}rangle ={frac {1}{sqrt {2}}}&{begin{pmatrix}1\-1end{pmatrix}}\&|s_{y,+}rangle ={frac {1}{sqrt {2}}}&{begin{pmatrix}1\iend{pmatrix}},&&|s_{y,-}rangle ={frac {1}{sqrt {2}}}&{begin{pmatrix}1\-iend{pmatrix}}\&|s_{z,+}rangle =&{begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}},&&|s_{z,-}rangle =&{begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}end{aligned}}}

$Spin (3)$ のユニタリ表現と角運動量編集

本節では3次元スピン群 $Spin (3)= SU (2)$ のユニタリ表現について詳細に述べ、これを土台として軌道角運動量、スピン角運動量、およびそれらの和である全角運動量の性質を調べる。

軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記編集

$n$ を3次元空間の単位ベクトルするとき、 $n$ を回転軸に持つ一粒子の軌道角運動量は $SO (3)$ のユニタリ表現 $λ$ が誘導する写像 $λ *$ と同型写像 ${displaystyle (Phi _{3})_{*}~:~{mathsf {spin}}(3){overset {sim }{to }}{mathsf {so}}(3)}$ を用いて

{displaystyle {hat {L}}_{mathbf {n} }=ihbar lambda _{*}(F_{mathsf {n}})=ihbar lambda _{*}circ (Phi _{3})_{*}(X_{mathsf {n}})in {L^{2}(mathbf {R} ^{3})}

上のユニタリ演算子

{displaystyle }}

と表記できる事が(J1)と(D2)から従う。ここで「 ${displaystyle circ }$ 」は関数の合成である。一粒子のスピン角運動量も(F2)から

{displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }=ihbar cdot (pi _{s})_{*}(X_{mathbf {n} })in {V_{s}}

上の歪エルミート演算子

{displaystyle }}

と定義されていた。

$n$ を回転軸に持つ一粒子の全角運動量演算子 ${displaystyle {hat {J}}_{mathbf {n} }}$ を

{displaystyle {hat {J}}_{mathbf {n} }={hat {L}}_{mathbf {n} }otimes mathrm {id} +mathrm {id} otimes {hat {S}}_{mathbf {n} }in {L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}

上の歪エルミート演算子

{displaystyle }}

と定義すると、

{displaystyle {hat {J}}_{mathbf {n} }=ihbar (lambda _{*}circ (Phi _{3})_{*}otimes mathrm {id} +mathrm {id} otimes (pi _{s})_{*})(X_{mathsf {n}})}

と表記できる。 ${displaystyle (lambda _{*}circ (Phi _{3})_{*}otimes mathrm {id} +mathrm {id} otimes (pi _{s})_{*})}$ は

{displaystyle rho ~:~exp(A)in {mathsf {Spin}}(3)to exp((lambda _{*}circ (Phi _{3})_{*}otimes mathrm {id} +mathrm {id} otimes (pi _{s})_{*})(A))in {L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}

上のユニタリ演算子

{displaystyle }}

が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも

{displaystyle ihbar times }

(

Spin (3)

のユニタリ表現が誘導する写像)(

X n

) 　　…(K1)

という形で書けている事がわかる。

複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり(K1)の形で表記できる事がわかる。

よって $Spin (3)$ のユニタリ表現の具体的な形を特定する事ができれば、（一粒子もしくは複数粒子に対する）軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量を具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、 $Spin (3)$ のユニタリ表現を具体的な形で書き下し、 $Spin (3)$ のユニタリ表現を使って(K1)の形で表記できる演算子の性質を調べる。

$Spin (3)$ のユニタリ表現編集

$u ≧ 0$ を整数もしくは半整数とし、 $W u$ を $2 u + 1$ 次元の複素計量ベクトル空間とする。具体的には

一粒子のスピン角運動量を考える場合は、 $u = s$ で、 $W u$ はスピノール空間 $V s$
一粒子の軌道角運動量を考える場合は、 $W u$ は $L 2 (R 3)$ の $2 u + 1$ 次元部分空間
一粒子の全角運動量を考える場合は、 $W u$ は ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ の $2 u + 1$ 次元部分空間

を想定している。複数粒子の場合も同様である。定理1より、 $Spin (3)$ の $W s$ 上での既約ユニタリ表現が同型を除いて一意に存在するので、この既約ユニタリ表現を

{displaystyle D^{u}~:~mathrm {Spin} (3)to mathrm {U} (W_{u})}

と表記する。(H1)、(H2)ですでに述べたように、

{displaystyle W_{1/2}=mathbf {C} ^{2}}

{displaystyle D^{1/2}=mathrm {id} }

である。

一般の $u$ に対する $W u$ と $D u$ は $W 1 / 2$ と $D 1 / 2$ から構成できる^[8]^:p25-27。

$W u$ の構成編集

対称テンソル積編集

$W u$ を構成する準備として、対称テンソル積を定義する。 $W 1 / 2$ の $2 u$ 個のコピーのテンソル積

{displaystyle W_{1/2}{}^{otimes 2u}=underbrace {W_{1/2}otimes ~cdots ~otimes W_{1/2}} _{2u}}

を考え、 ${displaystyle W_{1/2}{}^{otimes 2u}}$ の元 ${displaystyle psi =sum _{j}phi _{j,1}otimes cdots otimes phi _{j,2u}}$ に対し、 $ψ$ の対称化を

{displaystyle {mathcal {S}}(psi ):=sum _{j}phi _{j,1}odot ~cdots ~odot phi _{j,2u}}

{displaystyle :={1 over (2u)!}sum _{j}sum _{sigma in {mathfrak {S}}_{2u}}phi _{j,sigma _{1}}otimes cdots otimes phi _{j,sigma _{2u}}}

…(M1)

により定義する。ここで ${displaystyle {mathfrak {S}}_{2u}}$ は置換群である。すなわち ${displaystyle {mathcal {S}}(psi )}$ は各 $j$ に対し、 ${displaystyle phi _{1}otimes cdots otimes phi _{2''u''}}$ の添字を入れ替えたもの全ての和を $(2 u)!$ で割ったものである。（このように定義してもwell-definedである）。対称化したテンソルを対称テンソルと呼び、対称テンソル全体なす部分ベクトル空間を

{displaystyle W_{1/2}{}^{odot 2u}}

と表記する。 $e 0 、 e 1$ を $W 1 / 2 = C 2$ の基底とし、

{displaystyle E_{j}=underbrace {mathbf {e} _{0}odot ~cdots ~odot mathbf {e} _{0}} _{j}odot underbrace {mathbf {e} _{1}odot ~cdots ~odot mathbf {e} _{1}} _{2u-j}}

と定義すると、 $E 0 、 \dots 、 E 2 s$ は明らかに ${displaystyle W_{1/2}{}^{odot 2u}}$ の基底となる。したがって ${displaystyle W_{1/2}{}^{odot 2u}}$ は $2 u +1$ 次元である。

定義編集

$W u$ を

{displaystyle W_{u}=W_{1/2}{}^{odot 2u}}

　　　…(M2)

と定義する^[8]^:p25-27。

$D u$ の構成編集

$U \in Spin (3)$ に対し、

{displaystyle (D^{1/2})^{otimes 2u}(U)~:~W_{1/2}{}^{otimes 2u}to W_{1/2}{}^{otimes 2u}}

を

{displaystyle sum _{j}phi _{j,1}otimes cdots otimes phi _{j,2u}}

{displaystyle mapsto sum _{j}D^{1/2}(U)(phi _{j,1})otimes cdots otimes D^{1/2}(U)(phi _{j,2u})}

により定義すると、 ${displaystyle (D^{1/2})^{otimes 2u}(U)}$ は ${displaystyle W_{1/2}{}^{otimes 2u}}$ 上の内積を保つ線形写像である。明らかに ${displaystyle (D^{1/2})^{otimes 2u}(U)}$ は対称テンソルを対称テンソルに移すので、 ${displaystyle (D^{1/2})^{otimes 2u}(U)}$ の ${displaystyle W_{u}=W_{1/2}{}^{odot 2u}}$ への制限写像を、

{displaystyle D^{u}(U)=(D^{1/2})^{otimes 2u}(U)(U)|_{W_{u}}}

…(N1)

と定義する。

${displaystyle D^{u}(U)}$ は内積を保つので、これは

{displaystyle D^{u}(U)in {mathsf {U}}(W_{u})}

を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現である^[8]^:p25-27。

オブザーバブルとその性質編集

本節では、前節で定義した $Spin (3)$ の既約ユニタリ表現 $D u$ を用いて、オブザーバブルを定義し、そのオブザーバブルの性質を調べる。

オブザーバブル編集

{displaystyle D^{u}~:~{mathsf {Spin}}(3)={mathsf {SU}}(2)to W_{s}}

が誘導する写像

{displaystyle (D^{u})_{*}~:~{mathsf {spin}}(3)={mathsf {su}}(2)to W_{u},}

{\frac{d U (t)}{d t} |}_{t = 0} \mapsto {\frac{d D^{u} (U (t))}{d t} |}_{t = 0}

と3次元空間の単位ベクトル ${displaystyle mathbf {n} in {mathsf {spin}}(3)simeq mathbf {R} ^{3}}$ を用いてオブザーバブル

{displaystyle {hat {T}}_{mathbf {n} }=ihbar (D^{u})_{*}(X_{mathbf {n} })}

を定義できる。ここで $i$ は虚数単位であり、 $X n$ は(L6)に定義されたものである。具体的には

$W u$ がスピノール空間 $V s$ のときは $u = s$ で、 ${displaystyle {hat {T}}_{mathbf {n} }}$ は一粒子のスピン角運動量演算子 ${displaystyle {hat {S}}_{mathbf {n} }}$
$W u$ が $L 2 (R 3)$ の $2 u +1$ 次元部分空間のときは、 ${displaystyle {hat {T}}_{mathbf {n} }}$ は一粒子の軌道角運動量演算子 ${displaystyle {hat {L}}_{mathbf {n} }}$
$W u$ は ${displaystyle L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{t}}$ の $2 u +1$ 次元部分空間のときは、 ${displaystyle {hat {T}}_{mathbf {n} }}$ は一粒子の全角運動量演算子 ${displaystyle {hat {J}}_{mathbf {n} }}$

である。

$(D u) *$ を具体的に書き表す。 $U (t)$ を

{displaystyle X_{mathbf {n} }=left.{operatorname {d} U(t) over operatorname {d} t}right|_{t=0}}

を満たすように取ると、ライプニッツルールと(N1)より

{displaystyle (D^{u})_{*}(X_{mathbf {n} })=}

{\frac{d D^{u} (U (t))}{d t} |}_{t = 0} = {\frac{d}{d t} D^{1 / 2} \otimes \dots \otimes D^{1 / 2} (U (t)) |}_{t = 0}

{displaystyle =sum _{j=1}^{2u}D^{1/2}(U(t))|_{t=0}otimes cdots otimes {overset {overset {j}{vee }}{left.{operatorname {d} D^{1/2}(U(t)) over operatorname {d} t}right|_{t=0}}}otimes cdots otimes D^{1/2}(U(t))|_{t=0}}

{displaystyle =sum _{j=1}^{2u}Iotimes cdots otimes {overset {overset {j}{vee }}{(D^{1/2})_{*}(X_{mathbf {n} })}}otimes cdots otimes I}

である。ここで $I$ は常に単位行列 $I$ を返す写像である。

固有状態編集

スピン $1 / 2$ のときと同様の議論により、オブザーバブル $D 1 / 2$ は２つの固有値

\frac{ℏ}{2}, - \frac{ℏ}{2}

を持つので、これらに対応する固有状態をそれぞれ ${displaystyle e_{mathbf {n} }^{+}}$ 、 ${displaystyle e_{mathbf {n} }^{-}}$ とし、 $k = - u, -(u - 1), \dots, (u - 1), u$ に対し、

{displaystyle E_{mathbf {n} ,k}=c(k)underbrace {e_{mathbf {n} }^{+}cdot ~cdots ~cdot e_{mathbf {n} }^{+}} _{u+k}cdot underbrace {e_{mathbf {n} }^{-}cdot ~cdots ~cdot e_{mathbf {n} }^{-}} _{u-k}=c(k){mathcal {S}}(underbrace {e_{mathbf {n} }^{+}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{+}} _{u+k}otimes underbrace {e_{mathbf {n} }^{-}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{-}} _{u-k})}

{displaystyle in W_{1/2}{}^{odot 2u}=W_{u}}

…(P1)

とする^[8]^:p25-27。

ここで $c (k)$ は正規化定数^[8]^:p25-27

{displaystyle c(k)={sqrt {(2u)! over (u+k)!(u-k)!}}}

…(P2)

すると、

{displaystyle {hat {T}}_{mathbf {n} }(E_{mathbf {n} ,k})=ihbar (D^{u})_{*}(X_{mathbf {n} })(E_{mathbf {n} ,k})=c(k)cdot {mathcal {S}}(sum _{j=1}^{2u}(Iotimes cdots otimes {overset {overset {j}{vee }}{(D^{1/2})_{*}(X_{mathbf {n} })}}otimes cdots otimes I)(e_{mathbf {n} }^{+}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{+}otimes e_{mathbf {n} }^{-}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{-}))}

{displaystyle =hbar c(k)cdot {mathcal {S}}(kcdot e_{mathbf {n} }^{+}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{+}otimes e_{mathbf {n} }^{-}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{-})=khbar cdot E_{mathbf {n} ,k}}

なので、 $E n, k$ は固有値 ${displaystyle khbar }$ に対応する固有状態である。

昇降演算子編集

詳細は「昇降演算子」を参照

$n$ が $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸であるときの ${displaystyle {hat {T}}_{mathbf {n} }}$ を ${displaystyle {hat {T}}_{x}}$ 、 ${displaystyle {hat {T}}_{y}}$ 、 ${displaystyle {hat {T}}_{z}}$ とし、

{displaystyle {hat {T}}_{+}:={hat {T}}_{x}+i{hat {T}}_{y}}

{displaystyle {hat {T}}_{-}:={hat {T}}_{x}-i{hat {T}}_{y}}

とすると^[3]^:p50、

{displaystyle {hat {T}}_{pm }(E_{z,k})}

{displaystyle =hbar {sqrt {u(u+1)-k(k+1)}}cdot E_{z,kpm 1}}

である^[3]^:p50。

証明

{displaystyle {hat {D}}_{+}^{u}:=({hat {D}}^{u})_{*}(X_{1})+i({hat {D}}^{u})_{*}(X_{2})}

{displaystyle {hat {D}}_{-}^{u}:=({hat {D}}^{u})_{*}(X_{1})-i({hat {D}}^{u})_{*}(X_{2})}

とする。

z軸回りのオブザーバブルに対する固有状態は

{displaystyle e_{+}={begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}}}

、

{displaystyle e^{-}={begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}}

である。 $u = 1 / 2$ のときは、

{displaystyle {hat {D}}_{+}^{1/2}e_{+}={hbar over 2}{begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}e_{+}=0}

、

{displaystyle {hat {D}}_{+}^{1/2}e_{-}={hbar over 2}{begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}e_{-}={hbar over 2}e_{+}}

、

{displaystyle {hat {D}}_{-}^{1/2}e_{+}={hbar over 2}{begin{pmatrix}0&0\1&0end{pmatrix}}e_{+}={hbar over 2}e_{-}}

、

{displaystyle {hat {D}}_{-}^{1/2}e_{-}={hbar over 2}{begin{pmatrix}0&0\1&0end{pmatrix}}e_{-}=0}

なので、(N1)、(M1)、(P1)、(P2)より、

{displaystyle {hat {T}}_{+}(E_{z,k})=c(k)cdot {mathcal {S}}(sum _{j=1}^{2u}(Iotimes cdots otimes {overset {overset {j}{vee }}{D_{+}^{1/2}(X_{mathbf {n} })}}otimes cdots otimes I)(underbrace {e_{mathbf {n} }^{+}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{+}} _{u+k}otimes underbrace {e_{mathbf {n} }^{-}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{-}} _{u-k})}

{displaystyle =c(k)cdot {mathcal {S}}((u-k)hbar cdot underbrace {e_{mathbf {n} }^{+}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{+}} _{u+k+1}otimes underbrace {e_{mathbf {n} }^{-}otimes cdots otimes e_{mathbf {n} }^{-}} _{u-k-1})}

{displaystyle ={(u-k)hbar c(k) over c(k+1)}cdot E_{z,k+1}}

{displaystyle =hbar {sqrt {(u-k)(u+k+1)}}cdot E_{z,k+1}}

{displaystyle =hbar {sqrt {u(u+1)-k(k+1)}}cdot E_{z,k+1}}

${displaystyle {hat {T}}_{-}(E_{z,k})}$ のケースも同様に証明できる。

クレブシュ–ゴルダン係数編集

詳細は「クレブシュ–ゴルダン係数」を参照

$W u$ 、 $W v$ をそれぞれ $2 u + 1$ 次元、 $2 ｖ + 1$ 次元の複素計量ベクトル空間とし、

{displaystyle D^{u}~:~mathrm {Spin} (3)to mathrm {U} (W_{u})}

{displaystyle D^{v}~:~mathrm {Spin} (3)to mathrm {U} (W_{v})}

を既約ユニタリ表現としても

{displaystyle D^{u}otimes D^{v}~:~mathrm {Spin} (3)to mathrm {U} (W_{u})otimes mathrm {U} (W_{v})subset mathrm {U} (W_{u}otimes W_{v})}

は既約ユニタリ表現になるとは限らない。しかし適切に基底を取り替えれば、以下の事実が成り立つ事が知られている：

{displaystyle W_{u}otimes W_{v}simeq bigoplus _{w=|u-v|}^{u+v}W_{w}}

{displaystyle D^{u}otimes D^{v}simeq bigoplus _{w=|u-v|}^{u+v}D^{w}}

上式をクレブシュ–ゴルダン分解という^[3]^:p59^[9]^:p116。

上式左辺の基底は、

{displaystyle |u,j_{1}rangle otimes |v,j_{2}rangle }

の形式で記述できる。ここで ${displaystyle |u,j_{1}rangle }$ は固有値 $j 1$ に対応する $D u$ の固有状態である。一方右辺の基底は

{displaystyle |u,v,w,jrangle }

の形式で記述できる。ここで ${displaystyle |u,v,w,jrangle }$ は ${displaystyle W_{u}otimes W_{v}}$ における、固有値 $j$ に対応する $D w$ の固有状態である。両者は基底変換で結ばれるので、何らかの係数 $c (u, v, w, j 1, j 2, j)$ を用いて

{displaystyle |u,v,w,jrangle =sum _{w=|u-v|}^{u+v}c(u,v,w,j_{1},j_{2},j)|u,j_{1}rangle otimes |v,j_{2}rangle }

と書ける。 $c (u, v, w, j 1, j 2, j)$ をクレブシュ–ゴルダン係数という^[3]^:p60-61。

歴史編集

ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され（ゼーマン効果）、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた^[10]^[11]。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが ${displaystyle hbar /2}$ であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が 2 つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。

ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒによって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 ${displaystyle hbar {hat {mathbf {J} }}}$ の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした^[12]。

その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか（スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか）はわかっていない。

スピンと統計性編集

$s$ が半整数の値をもつような粒子はフェルミ粒子であり、 $s$ が整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。 $s$ の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。

脚注編集

^ ^a ^b ^c ランダウ＝リフシッツ小教程
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h H13
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m A07
^ H13、p383。なおこのページには ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ ではなく ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3}){hat {otimes }}V}$ と書いてあるが、 ${displaystyle V=V_{s}}$ が有限次元であるため両者は同一である(同ページDef17.21の直前の記述)。
^ A07 pp. 39–40。なおA07では内積を ${displaystyle langle sigma ,tau rangle ={1 over 2}operatorname {tr} (sigma tau )}$ と定義しているが、これはパウリ行列で貼られた空間に対してのものなので、これを $su (2)$ に写すと内積が本節で定義した形になる。
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g W16
^ H13 pp. 383–384。H13は射影表現を使って定義しているので、これをスピンのユニタリ表現に読み替える必要がある。
^ ^a ^b ^c ^d ^e S 12
^ W16
^ G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1925). “Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons”. Naturwissenschaften 13 (47): 953–954. doi:10.1007/BF01558878.
^ G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1926). “Spinning Electrons and the Structure of Spectra”. Nature 117: 264–265. doi:10.1038/117264a0.
^ 砂川重信『量子力学』岩波書店、1991年。ISBN 4000061399。

参考文献編集

[ランダウ＝リフシッツ小教程] L.D. ランダウ、E.M.リフシッツ著、好村滋洋、井上健男訳 (2008年6月10日). ランダウ＝リフシッツ物理学小教程　量子力学. ちくま学芸文庫
[A07] Joṥe Alvarado (2007年12月4日). “Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics (pdf)”. 2016年12月1日閲覧。
[H13] Brian C.Hall (2013/7/1). Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics 267. Springer
[S93] J. J. Sakurai (1993/9/10). Modern Quantum Mechanics, Revised Edition. Addison Wesley. ISBN 978-0201539295
[S12] D. E. Soper (2012年1月30日). “The rotation group and quantum mechanics (pdf)”. 2016年12月27日閲覧。
[W16] Peter Woit (2016年12月6日). “Quantum Theory, Groups and Representations:An Introduction (pdf)”. 2016年12月16日閲覧。

外部リンク編集

スピン、一般化角運動量、角運動量合成 (PDF) （日本語）
第19章スピン第14章軌道角運動量第20章角運動量の合成 (PDF) （日本語）
第9回講義資料 (PDF) （日本語）パウリのスピン行列の導出
第2章スピン (その1) 第2章スピン (その2) (PDF) （日本語）スピノル表記・パウリのスピン行列の導出
3.3 回転対称性 (PDF) （日本語） スピンと対称操作

[LLref-1] ランダウ＝リフシッツ小教程

[H13ref-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h H13

[A07ref-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m A07

[4] H13、p383。なおこのページには ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3})otimes V_{s}}$ ではなく ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbf {R} ^{3}){hat {otimes }}V}$ と書いてあるが、 ${displaystyle V=V_{s}}$ が有限次元であるため両者は同一である(同ページDef17.21の直前の記述)。

[5] A07 pp. 39–40。なおA07では内積を ${displaystyle langle sigma ,tau rangle ={1 over 2}operatorname {tr} (sigma tau )}$ と定義しているが、これはパウリ行列で貼られた空間に対してのものなので、これを $su (2)$ に写すと内積が本節で定義した形になる。

[W16ref-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g W16

[7] H13 pp. 383–384。H13は射影表現を使って定義しているので、これをスピンのユニタリ表現に読み替える必要がある。

[:02-8] S 12

[9] W16

[10] G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1925). “Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons”. Naturwissenschaften 13 (47): 953–954. doi:10.1007/BF01558878.

[11] G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1926). “Spinning Electrons and the Structure of Spectra”. Nature 117: 264–265. doi:10.1038/117264a0.

[12] 砂川重信『量子力学』岩波書店、1991年。ISBN 4000061399。

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スピン角運動量

準備編集

数学の準備編集

空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子編集

スピンを考慮した場合の波動関数空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の数学的定式化編集

スピンを考慮した波動関数の表示方法編集

成分表示編集

スピノール表示編集

スピンを考慮した場合のオブザーバブル編集

Vs 上のユニタリ表現に関する問題編集

射影ユニタリ表現を用いた解決編集

スピン群を用いた解決方法編集

2つの解決方法の同値性編集

スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記編集

スピン1/2の場合のVsとπsの具体的表記編集

無限小変換の集合spin(3)=su(2)の具体的表記編集

Spin(3)の元の具体的表記編集

Spin(3) から SO(3) への準同型写像 Φ3編集

Φ3が誘導する写像(Φ3)*の定義とその具体的表記編集

Φ3の具体的表記編集

スピン角運動量演算子の定義と性質編集

スピン角運動量演算子の定義編集

スピン角運動量演算子の性質編集

交換関係編集

回転軸の変更編集

スピン1/2の場合の具体的表記編集

Spin(3)のユニタリ表現と角運動量編集

軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記編集

Spin(3)のユニタリ表現編集

Wuの構成編集

対称テンソル積編集

定義編集

Duの構成編集

オブザーバブルとその性質編集

オブザーバブル編集

固有状態編集

昇降演算子編集

クレブシュ–ゴルダン係数編集

歴史編集

スピンと統計性編集

脚注編集

関連項目編集

参考文献編集

外部リンク編集

スピンを考慮した場合の波動関数空間 ${displaystyle {mathcal {H}}}$ の数学的定式化編集

$V s$ 上のユニタリ表現に関する問題編集

スピン $1 / 2$ の場合の $V s$ と $π s$ の具体的表記編集

無限小変換の集合 $spin (3)= su (2)$ の具体的表記編集

$Spin (3)$ の元の具体的表記編集

$Spin (3)$ から $SO (3)$ への準同型写像 $Φ 3$ 編集

$Φ 3$ が誘導する写像 $(Φ 3) *$ の定義とその具体的表記編集

$Φ 3$ の具体的表記編集

スピン $1 / 2$ の場合の具体的表記編集

$Spin (3)$ のユニタリ表現と角運動量編集

$Spin (3)$ のユニタリ表現編集

$W u$ の構成編集

$D u$ の構成編集